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Equazioni di secondo grado, cosa sono e come si risolvono, con esercizi svolti e commentati.

Prima di passare agli esercizi svolti, vediamo un po' di teoria. Se però hai già le basi per risolvere le "equazioni di secondo grado" puoi saltare queste prime righe e passare direttamente agli esercizi svolti proposti.

Le equazioni di secondo grado o quadratica, sono equazioni algebriche ad una sola incognita x con grado pari a 2 e si presentano nella seguente forma:

Forma canonica equazione di secondo grado

con i coefficienti a,b e c che rappresentano valori noti.

Ridotta alla forma canonica, un'equazione di secondo grado si dice:

  1. completa, quando a, b e c sono tutti diversi da zero;
  2. spuria, se il coefficiente c è uguale a zero, e l'equazione si presenta dunque nella forma ax2+bx=0 ;
  3. pura, quando il coefficiente b vale zero, e l'equazione si presenta nella forma ax2+c=0;
  4. monomia, quando i coefficienti b e c valgono zero.

Risoluzione equazioni di 2° grado:

  1. Equazione completa.

    Se l'equazione canonica è nella forma completa, la soluzione si trova applicando la seguente formula risolutiva:

    Formula risolutiva equazioni di secondo gradoEsempio:

    x2+5x+4=0 ;
    Esempio di equazione di secondo grado
  2. Equazione spuria.

    Risolviamo, mettendo in evidenza la x e applicando la legge di annullamento del prodotto, ad esempio:

    Messa in evidenza:

    Equazione di secondo grado, forma spuria

    Applicazione della legge di annullamento del prodotto:

    Forma spuria equazioni di secondo grado

    sostanzialmente, poniamo uguale a zero ognuno dei due fattori

    Risoluzione equazioni di secondo grado

    otteniamo così due soluzioni, una delle due, come si vede, sempre uguale a zero:

    x1=0     e     x2=-b/a

    Esempio:

    Esempio di equazione spuria

  3. Equazione pura.

    Se l'equazione di secondo grado è pura, si risolve portando al secondo termine il termine noto (ovvero il termine c) e quindi si calcola la radice quadrata.

    ax2+c=0    ->     ax2=-c

    Equazione secondo grado pura

    a questo punto possono presentarsi due casi diversi:

    1° caso: -c/a è un numero negativo, allora l'equazione non ammette soluzioni reali;

    2° caso: -c/a è un numero positivo, allora l'equazione è risolta da:

    Soluzione equazione secondo grado pura

    Esempio:

    2x2-18=0;

    2x2=18;    ->     x2=18/2=9;

    x1,2=±√9;    ->     x1,2=±3;

    x1=3;  e  x2=-3;

  4. Equazione monomia.
    Quando l'equazione è monomia, ax2=0, la soluzione è unica e doppia, x1=x2=0.

    Esempio:

    10x2=0;     ->     x1=x2=0.

Soluzioni delle equazioni di secondo grado

Alla luce di quanto visto sopra, appare chiaro che, per la soluzione di un' equazione di secondo grado è di fondamentale importanza il calcolo della radice quadrata √(b2-4ac) il cui argomento prende il nome di discriminante e d'ora in poi indicheremo con la lettera greca delta Δ.

Δ=√(b2-4ac)

Possiamo distinguere allora tre casi, a seconda che il discriminante sia maggiore, uguale o minore di zero e affermare che:

  • se Δ>0, allora vi sono due soluzioni (anche dette radici) reali e distinte x1≠x2;
  • se Δ=0, allora le soluzioni sono reali e coincidenti x1=x2;
  • se Δ<0, l'equazione non ha soluzioni reali, ma ha soluzioni appartenenti all'insieme dei numeri complessi.

Somma e prodotto delle soluzioni

Si può dimostrare che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a -b/a ovvero: s=x1+x2=-b/a;

mentre il prodotto delle soluzioni è uguale a c/a ovvero: p=c/a.

Scomposizione in fattori del trinomio

Prendiamo il polinomio completo di secondo grado ax2+bx+c, questo può essere scomposto in fattori con la seguente formula:

ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2),

dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione ax2+bx+c=0,

che nel caso di delta =0, ovvero di soluzioni coincidenti diventa:

ax2+bx+c = a(x-x1)2 .

Regola dei segni di Cartesio

Si può determinare il segno delle soluzioni di un' equazione di secondo grado con la cosidetta regola dei segni o regola di Cartesio, a patto però, che il discriminante (il delta) dell'equazione non sia negativo. La regola si basa sullo studio dei segni dei coefficienti dell'equazione eventualmente ridotta alla formula canonica ax2+bx+c=0.

Si considerano, in pratica, nell'ordine, i segni dei coefficienti a,b e c assumendo a>o (se non lo è moltiplicare tutto per -1). Si moltiplicano dunque i segni dei coefficienti (ex. a=1, b=-2, c=3   ->   +**+) annotando che:

  • a variazione di segno corrisponde soluzione positiva;
  • a permanenza di segno corrisponde soluzione negativa.

Un esempio chiarirà il tutto:

2x2-5x+2=0;

Δ=25-16=9; verifichiamo che il delta non sia negativo!

Studio dei segni: +**+   ->   abbiamo una variazione (+*−) e una seconda variazione (−*+)

quindi due radici positive.

 

Esercizi svolti sulle equazioni di 2° grado

Gli esercizi sono progressivamente più complessi.

 

Esercizio svolto 1 - equazioni di secondo grado 

  • -2x2+4=0;
  • -2x2=-4; abbiamo portato il termine noto a destra dell'uguale;
  • -2x2/2=-4/2; -> -x2=-2; ->  x2=2; abbiamo diviso tutto per 2 e poi moltiplicato per -1 perché vogliamo che il coefficiente di x2 sia 1;
  • x1,2=± √2  -> x1=√2; e x2=-√2; quindi applichiamo la formula risolutiva.

 

Esercizio 2 - equazioni di secondo grado 

  •  x2-9x-22=0; applichiamo la formula risolutiva;
    Equazione di secondo grado, esercizio svolto 2
  • x1=2;   e   x2=-11;

Esercizio 3 - equazioni di secondo grado

  •  Esercizio svolto equazioni di secondo grado 3

Esercizio 4 - equazioni di secondo grado

Semplice esercizio sulle equazioni di secondo grado 

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