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Equazioni di secondo grado, cosa sono e come si risolvono, con esercizi svolti e commentati.

Prima di passare agli esercizi svolti, vediamo un po' di teoria. Se però hai già le basi per risolvere le "equazioni di secondo grado" puoi saltare queste prime righe e passare direttamente agli esercizi svolti proposti.

Le equazioni di secondo grado o quadratica, sono equazioni algebriche ad una sola incognita x con grado pari a 2 e si presentano nella seguente forma:

Forma canonica equazione di secondo grado

con i coefficienti a,b e c che rappresentano valori noti.

Ridotta alla forma canonica, un'equazione di secondo grado si dice:

  1. completa, quando a, b e c sono tutti diversi da zero;
  2. spuria, se il coefficiente c è uguale a zero, e l'equazione si presenta dunque nella forma ax2+bx=0 ;
  3. pura, quando il coefficiente b vale zero, e l'equazione si presenta nella forma ax2+c=0;
  4. monomia, quando i coefficienti b e c valgono zero.

Risoluzione equazioni di 2° grado:

  1. Equazione completa.

    Se l'equazione canonica è nella forma completa, la soluzione si trova applicando la seguente formula risolutiva:

    Formula risolutiva equazioni di secondo gradoEsempio:

    x2+5x+4=0 ;
    Esempio di equazione di secondo grado

    Se il coefficiente b è un numero pari si può utilizzare una formula risolutiva ridotta che semplifica leggermente i calcoli da effettuare. La formula risolutiva ridotta delle equazioni di secondo grado è la seguente:

    Formula ridotta per la risoluzione delle equazioni di secondo grado

  2. Equazione spuria.

    Risolviamo, mettendo in evidenza la x e applicando la legge di annullamento del prodotto. Per comprendere meglio vediamo un esempio concreto.
    Messa in evidenza:

    Equazione di secondo grado, forma spuria

    Applicazione della legge di annullamento del prodotto:

    Forma spuria equazioni di secondo grado

    sostanzialmente, poniamo uguale a zero ognuno dei due fattori

    Risoluzione equazioni di secondo grado

    otteniamo così due soluzioni, una delle due, come si vede, sempre uguale a zero:

    x1=0     e     x2=-b/a

    Esempio:

    Esempio di equazione spuria
    Ricordate dunque che quando l'equazione di secondo grado è in forma spuria, una delle due soluzioni è sempre uguale a zero.

  3. Equazione pura.

    Se l'equazione di secondo grado è pura, si risolve portando al secondo termine il termine noto (ovvero il termine c) e quindi si calcola la radice quadrata.

    ax2+c=0    ->     ax2=-c

    Equazione secondo grado pura

    a questo punto possono presentarsi due casi diversi:

    1° caso: -c/a è un numero negativo, allora l'equazione non ammette soluzioni reali;

    2° caso: -c/a è un numero positivo, allora l'equazione è risolta da:

    Soluzione equazione secondo grado pura

    Esempio:

    2x2-18=0;

    2x2=18;    ->     x2=18/2=9;

    x1,2=±√9;    ->     x1,2=±3;

    x1=3;  e  x2=-3;

  4. Equazione monomia.
    Quando l'equazione è monomia, ax2=0, la soluzione è unica e doppia, x1=x2=0.

    Esempio:

    10x2=0;     ->     x1=x2=0.

Soluzioni delle equazioni di secondo grado

Alla luce di quanto visto sopra, appare chiaro che, per la soluzione di un' equazione di secondo grado è di fondamentale importanza il calcolo della radice quadrata √(b2-4ac) il cui argomento prende il nome di discriminante che d'ora in poi indicheremo con la lettera greca delta Δ.

Δ=√(b2-4ac)

Possiamo distinguere allora tre casi, a seconda che il discriminante sia maggiore, uguale o minore di zero e affermare che:

  • se Δ>0, allora vi sono due soluzioni (anche dette radici) reali e distinte x1≠x2;
  • se Δ=0, allora le soluzioni sono reali e coincidenti x1=x2;
  • se Δ<0, l'equazione non ha soluzioni reali, ma ha soluzioni appartenenti all'insieme dei numeri complessi. In particolare, x1 e  x2 saranno coniugate e complesse.

Somma e prodotto delle soluzioni

Si può dimostrare che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a -b/a ovvero: s=x1+x2=-b/a;

mentre il prodotto delle soluzioni è uguale a c/a ovvero: p=c/a.

Scomposizione in fattori del trinomio

Prendiamo il polinomio completo di secondo grado ax2+bx+c, questo può essere scomposto in fattori con la seguente formula:

ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2),

dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione ax2+bx+c=0,

che nel caso di delta =0, ovvero di soluzioni coincidenti diventa:

ax2+bx+c = a(x-x1)2 .

Regola dei segni di Cartesio

Si può determinare il segno delle soluzioni di un' equazione di secondo grado con la cosidetta regola dei segni o regola di Cartesio, a patto però, che il discriminante (il delta) dell'equazione non sia negativo. La regola si basa sullo studio dei segni dei coefficienti dell'equazione eventualmente ridotta alla formula canonica ax2+bx+c=0.

Si considerano, in pratica, nell'ordine, i segni dei coefficienti a,b e c assumendo a>o (se non lo è moltiplicare tutto per -1). Si moltiplicano dunque i segni dei coefficienti (ex. a=1, b=-2, c=3   ->   +**+) annotando che:

  • a variazione di segno corrisponde soluzione positiva;
  • a permanenza di segno corrisponde soluzione negativa.

Un esempio chiarirà il tutto:

2x2-5x+2=0;

Δ=25-16=9; verifichiamo che il delta non sia negativo!

Studio dei segni: +**+   ->   abbiamo una variazione (+*−) e una seconda variazione (−*+)

quindi due radici positive.

Equazioni di secondo grado fratte

Le equazioni di secondo grado fratte si risolvono allo stesso modo delle altre ma facendo attenzione alle condizioni di accettabilità. 

Per prima cosa dobbiamo scrivere l'equazione nella forma seguente:

Forma canonica delle equazioni di secondo grado fratte

Fatto questo, sarà sufficiente:

  • porre D(x) diverso da 0 e appuntare i risultati perchè eventuali soluzioni dell'equazione coincidenti con questi sono da scartare, perchè porterebbero a dividere per zero;
  • risolvere N(x) = 0, come una normale equazione di secondo grado;
  • confrontare le soluzioni di N(x)=0 con quelle di D(x) diverso da 0 viste al primo punto e scartare le eventuali soluzioni coincidenti. 

 

Esercizi svolti sulle equazioni di 2° grado

Gli esercizi sono progressivamente più complessi.

Esercizio svolto 1 - equazioni di secondo grado 

  • -2x2+4=0;
  • -2x2=-4; abbiamo portato il termine noto a destra dell'uguale;
  • -2x2/2=-4/2; -> -x2=-2; ->  x2=2; abbiamo diviso tutto per 2 e poi moltiplicato per -1 perché vogliamo che il coefficiente di x2 sia 1;
  • x1,2=± √2  -> x1=√2; e x2=-√2; quindi applichiamo la formula risolutiva.

Esercizio 2 - equazioni di secondo grado 

  •  x2-9x-22=0; applichiamo la formula risolutiva;
    Equazione di secondo grado, esercizio svolto 2
  • x1=2;   e   x2=-11;

Esercizio 3 - equazioni di secondo grado

  •  Esercizio svolto equazioni di secondo grado 3

Esercizio 4 - equazioni di secondo grado

Semplice esercizio sulle equazioni di secondo grado 

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