Stella inattivaStella inattivaStella inattivaStella inattivaStella inattiva
 

Enunciato

Se un fascio di rette parellele è tagliato da due trasversali, i segmenti determinati sull'una sono proporzionali ai corrispondenti segmenti determinati sull'altra trasversale.

Vediamo ora la dimostrazione del teorema di Talete.

Le parallele  tagliano le due trasversali r ed r' nei punti  ed . Vogliamo dimostrare che:

.

 

Supponiamo che i due segmenti AB e CD siano commensurabili, ovvere che è possibile individuare la misura di uno rispetto all'altro. Esisterà allora un segmento U loro sottomultiplo comune che sarà contenuto esattamente m volte in AB ed n volte in CD. Si avrà perciò AB=mU e CD=nU ovvero:

AB/CD = m/n.   (1)

Poichè in un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti uguali su una retta corrispondono segmenti uguali sull'altra retta (vedi figura, ), se dividiamo AB e CD rispettivamente in n e m parti uguali ad U e conduciamo per i punti di divisione le parallele ad a, anche i segmenti A'B' e C'D' rimarranno rispettivamente divisi in m ed n parti uguali ad un segmento U'.

Perciò si ha:

Dalla (2) e dalla (1) si deduce che:

.