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La formula di Erone viene utilizzata per calcolare l’area di un triangolo conoscendo il perimetro e i lati:

Con p indichiamo il semiperimetro che corrisponde alla metà del perimetro.

Problema 1

Calcola l’area di un triangolo ABC che ha i lati proporzionali ai numeri 5.2, 8 e 8.4 ed il perimetro di 108 metri;

RISOLVO

DATI

AB=5.2•x metri

BC=8•x metri

CA=8.4•x metri

2p=108 metri

A(ABC)=?

CALCOLI

Il perimetro è dato dalla formula

2p= AB+BC+CA

che nel nostro caso corrisponde ai valori:

108m=(5.2x+8x+8.4x)m

raccogliamo i fattori comuni, per poter calcolare quanto vale il coefficiente di proporzionalità:

x(5.2+8+8.4)=108

x(21.6)=108

isoliamo la x, ovvero il nostro fattore proporzionalità:

x=108/21.6 = 5.

Dunque, determinato ora il coefficiente di proporzionalità (x), possiamo calcolare il valore dei lati

AB=5.2•5=26 m

BC=8•5=40 m

CA=8.4•5=42m

Calcoliamo il semiperimetro:

p=108/2=54.

Possiamo adesso applicare la formula di Erone per calcolare l’area del triangolo ABC:

Problema 2

Calcolare il perimetro e le tre altezze di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 6.5m, 7m e 7.5 m e ha l’area di 336 m2.

Svolgimento

DATI

AB=6.5x cm

BC=7x cm

CA=7.5x cm

Area=336 cm2

Perimetro 2P=?

CALCOLI

Come primo passo possiamo calcolare il semiperimetro:

 dalla formula di ERONE si ha:

Abbiamo così calcolato il coefficiente di proporzionalità che vale x=4, dunque si ha:

AB=6.5•4m=26cm

BC=7•4m=28cm

CA=7.5•4m=30cm

 

Possiamo ora calcolare il perimetro

2P=(26+28+30)m=84 cm;            

per calcolare le altezze del triangolo, sappiamo che:

A=(b•h)/2;   ->   da qui calcoliamo:

.

 

Problema 3

Calcolare il perimetro di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 5, 10.4, 12.6 e l’altezza relativa al lato maggiore di 20 cm.

DATI

AB=5x m

BC=10,4x m

CA=12,6x m

h(CA)=20m Altezza Relativa Al Lato Maggiore

2P=?

CALCOLI

Poiché abbiamo l’altezza (relativa al lato maggiore), calcoliamo l’area:

 Calcoliamo adesso il semiperimetro:

Adesso calcoliamo il coefficiente di proporzionalità:

Risolviamo l’equazione di secondo grado raccogliendo i fattori comuni:

Calcoliamo adesso l’area del triangolo, con il coefficiente di proporzionalità trovato

A=126•x=126•5m2=630 m2

2P=28•x=28•5=140 m.

 

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