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Procedendo per assurdo dimostreremo che radice di due è un numero irrazionale

Quest'oggi dimostreremo che la radice di 2 non è un numero razionale ovvero che esso non può essere espresso come una frazione. In pratica assumeremo che sia vero il contrario, cioè che radice di 2 è irrazionale, per poi dimostrare che questo è impossibile. La dimostrazione avviene dunque per assurdo.

Per assurdo supporremo che √2 è un numero razionale, in pratica stiamo dicendo che esiste una frazione irriducibile che chiameremo m/n (una frazione che non si può semplificare) in modo che:

  • m/n=√2;

se m/n non si può ridurre, è evidente che m2/n2 sarà anch'essa irriducibile.

Da questa ipotesi scaturisce allora che:

  • m2/n2=2;

è logica conseguenza che anche:

  • m2=2n2 deve esserlo;

in quest'ultimo caso però, noterete che m2 sarebbe multiplo di n2 .

Eccoci dunque arrivati alla nostra bella contraddizione con conseguente dimostrazione che (√2) è per forza un numero irrazionale.

 

Se siete interessati alla storia, scoprirete cose interessanti sul numero radice di 2. Qui qualche breve accenno. Noto come costante di Pitagora, è ad esso che si deve la scopert dei numeri irrazionali. L'importanza di questa dimostrazione deriva da questo.
Il numero radice di due fu studiato in Grecia, in Egitto, Babilonia e India, ma Pitagora per primo si accorse che radice di 2 non poteva essere espresso come una frazione. Prima di ciò, Pitagora era convinto che tutti i numeri fossero razionali.

√2 in geometria, rappresenta il valore della lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo che ha entrambi i cateti che misurano 1.