Equazioni primo grado, con esercizi svolti

Cosa sono e come si risolvono le equazioni di primo grado e soprattutto tanti esercizi svolti e commentati

In questa lezione affronteremo il problema delle equazioni di primo grado. Dopo una rapida occhiata alla teoria passiamo a esercizi svolti sulle equazioni di primo grado con difficoltà crescente, da livello 3° media a scuole superiori. Cercheremo di tenere questa pagina sempre aggiornata con l'aggiunta di nuove equazioni.

Equazione di primo grado in un’incognita: forma normale - spiegazione

Per capire bene il significato delle equazioni di primo grado e quindi poter svolgere gli esercizi, è bene premettere preventivamente alcune cose. Ecco quali:

• date due funzioni qualsiasi, ad esempio:
  
  possiamo facilmente notare che se diamo a x un valore qualsiasi, le due funzioni assumono in genere valori differenti. Ad esempio, se assumiamo x=1, le funzioni 
  assumono i seguenti valori:
  
• vogliamo chiederci ora: come trovare valori di x tali che:
  
  Semplice, con un'equazione!
  
     "equazioni primo grado"

Ecco quindi la definizione di equazioni: "date due funzioni , con lo stesso dominio, le relazioni del tipo:

prendono il nome di "equazioni di primo grado in un'incognita".

Equazione di primo grado in un’incognita: forma normale - risoluzione

Un’equazione numerica intera lineare, o di primo grado, si può scrivere nella forma:

a_*x=b

dove a e b sono numeri interi, con a≠0

Dividendo ambo i membri per a si ottiene:

x=b/a , (a≠0);

e ciò prova che l’equazione ammette l’unica soluzione data dal numero b/a. Pertanto, le equazioni di primo grado ammettono sempre una e una sola soluzione.

Esempio:

Se questo ti è sufficiente pui passare agli esercizi svolti, altrimenti continua la lettura per approfondire.

Per approfondire

Le equazioni numeriche intere si possono trasformare in altre equivalenti, nelle quali non figurano denominatori ed hanno il secondo membro uguale a zero. Perciò il primo membro di queste equazioni risulterà un polinomio nella variabile x. Questo polinomio si potrà scrivere sotto forma normale, riducendone i termini simili, e rappresentato sotto la forma:

P(x)=0.     (1)

dove P(x) è un polinomio nella variabile x scritto sotto forma normale.

Un’equazione scritta nella forma (1), si dice scritta o ridotta sotto forma normale.

"Il termine equazione (dal latino aequatio) risale a Fibonacci che utilizzava anche il vovabolo radix, causa o census per indicare le incognite"

Grado del polinomio

Il grado del polinomio P(x) si chiama grado dell’equazione. Quindi, se il grado della x è 1, avremo sempre equazioni di primo grado.

Esercizi svolti equazioni di primo grado facili (scuola media)

Gli esercizi proposti continuano nella pagina successiva e hanno un livello difficolta crescente. Le prime sono adatte a studenti della scuola media, via via gli esercizi diventano più difficili e sono adatti a studenti delle scuole superiori.

Esercizi svolti: n 1

Risolvere la seguente equazione di primo grado

• 3x-12=0

Per risolvere l’equazione:

1. trasportare il termine noto al secondo membro. Ricorda che quando un termine viene portato da un lato all'altro dell'uguale, per esempio da sinistra a destra, deve essere cambiato di segno quindi:
   3x=12;

2. dividere ambo i membri per lo stesso coefficiente della variabile x, in questo caso dividere per 3:
   x=12/3=4;

3. Verifica della soluzione: la soluzione dell’equazione data è quindi il numero 4, il che vuol dire che se nell’equazione data sostituiamo al posto della x il valore 4, e poi eseguiamo i calcoli indicati, il primo membro dell’equazione risulta eguale al secondo. Infatti, si ha:
   
   3*(4)-12=0
   
   ossia
   
   0=0

Esercizi svolti: n 2

Verifica della soluzione

• 7+4(3/2+2)-43/2=3(3/2+4)-3/2;
  
  7+47/2-6=311/2 -3/2;
  
  7+14-6=33/2 -3/2;
  
  15=15                                   come volevasi dimostrare

Esercizi svolti: n 3

Risolvere la seguente equazione di primo grado nell'incognita y

• y²+2y+3=y²; portiamo tutto a sinistra dell'uguale:
  
  y²+2y+3-y²=0; quindi y² e -y² si annullano e rimane:
  
  2y+3=0; come al solito trasportiamo il termine noto a destra:
  
  2y=3; il coefficiente della y è due quindi dividiamo tutto per 2:
  
  2y/2=3/2;   ->   y=3/2;

Esercizi svolti: n 4

Risolvere la seguente equazione di primo grado lineare (attenzione! questa non è un'equazione fratta)

• 
  
  dividiamo tutto per il m.c.m. dei denominatori che è 20:
  
   

Esercizi svolti: n 5

Risolvere la seguente equazione di primo grado facendo attenzione ai segni

Esercizi svolti: n 6

Risolvere la seguente semplice equazione di 1 grado

Esercizi svolti: n 7

Esercizi svolti: n 8

Esercizi svolti: n 9

Risolvere la seguente equazione prestando attenzione alle parentesi

Esercizi svolti: n 10

Risolvere la segunte equazione di primo grado prestando attenzione alle parentesi

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