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Ultima modifica: 05 Agosto 2023

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Procedendo per assurdo dimostreremo che radice di due è un numero irrazionale

Quest'oggi dimostreremo che la radice di 2 non è un numero razionale ovvero che esso non può essere espresso come una frazione. In pratica assumeremo che sia vero il contrario, cioè che radice di 2 è irrazionale, per poi dimostrare che questo è impossibile. La dimostrazione avviene dunque per assurdo.

Per assurdo supporremo che √2 è un numero razionale, in pratica stiamo dicendo che esiste una frazione irriducibile che chiameremo m/n (una frazione che non si può semplificare) in modo che:

• m/n=√2;

se m/n non si può ridurre, è evidente che m²/n² sarà anch'essa irriducibile.

Da questa ipotesi scaturisce allora che:

• m²/n²=2;

è logica conseguenza che anche:

• m²=2n² deve esserlo;

in quest'ultimo caso però, noterete che m² sarebbe multiplo di n² .

Eccoci dunque arrivati alla nostra bella contraddizione con conseguente dimostrazione che (√2) è per forza un numero irrazionale.

 

Se siete interessati alla storia, scoprirete cose interessanti sul numero radice di 2. Qui qualche breve accenno. Noto come costante di Pitagora, è ad esso che si deve la scopert dei numeri irrazionali. L'importanza di questa dimostrazione deriva da questo.
Il numero radice di due fu studiato in Grecia, in Egitto, Babilonia e India, ma Pitagora per primo si accorse che radice di 2 non poteva essere espresso come una frazione. Prima di ciò, Pitagora era convinto che tutti i numeri fossero razionali.

√2 in geometria, rappresenta il valore della lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo che ha entrambi i cateti che misurano 1.

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Ultima modifica: 05 Agosto 2023

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In questa lezione dimostreremo che la radice di 2 non è un numero razionale (cioè non può essere espresso come una frazione). La dimostrazione che radice di 2 è irrazionale avviene per assurdo, ovvero, assumeremo che sia vero il contrario, per poi dimostrare che è impossibile.

Supponiamo per assurdo che √2 sia un razionale, ovvero supponiamo che, esiste una frazione irriducibile m/n (cioè che non si può semplificare) tale che:

• m/n=√2;

poichè m/n è irriducibile, allora anche m²/n² deve essere irriducibile.

Dall'ipotesi fatta, segue allora che:

• m²/n²=2;

e quindi di conseguenza deve essere anche:

• m²=2n²;

secondo quest'ultima però, m² dovrebbe essere multiplo di n² .

Siamo dunque arrivati a una contraddizione e quindi abbiamo dimostrato che (√2) ènecessariament un numero irrazionale.

 

Alla scoperta del numero radice di 2, anche noto come costante di Pitagora, la storia fa risalire la scoperta dei numeri irrazionali. Da questo deriva la grandissima importanza di questa dimostrazione.
Oltre che in Grecia, il numero radice di due fu studiato anche in Babilonia, Egitto e India, ma fu Pitagora, cultore dei numeri razionali ad accorgersi per primo che radice di 2 non poteva essere espresso come una frazione. La dimostrazione ottenuta per assurdo, disilluse Pitagora dalla convinzione che tutti i numeri fossero razionali.

In termini geometrici, √2, rappresenta la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo i cui cateti misurano entrambi 1.

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Ultima modifica: 05 Agosto 2023

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Dimostrazione che il diametro è uguale alla corda maggiore (più lunga) in una circonferenza.

Consideriamo una circonferenza di raggio r.

Supponiamo che AB sia il diametro della circonferenza e CD la corda.

Congiungiamo gli estremi della corda con il centro:

Otteniamo così il triangolo DOC. Sappiamo che, in un triangolo, la somma dei due lati è maggiore del terzo lato, avremo quindi:

OC + OD > CD.

Poiché OC e OD sono il raggio della circonferenza, avremo che la loro somma è congruente al diametro AB ossia,

OC + OD = r + r = 2r = AB > CD.

Ecco quindi la dimostrazione che il diametro è la corda maggiore.

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Ultima modifica: 05 Agosto 2023

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La formula di Erone viene utilizzata per calcolare l’area di un triangolo conoscendo il perimetro e i lati:

Con p indichiamo il semiperimetro che corrisponde alla metà del perimetro.

Problema 1

Calcola l’area di un triangolo ABC che ha i lati proporzionali ai numeri 5.2, 8 e 8.4 ed il perimetro di 108 metri;

RISOLVO

DATI

AB=5.2•x metri

BC=8•x metri

CA=8.4•x metri

2p=108 metri

A_(ABC)=?

CALCOLI

Il perimetro è dato dalla formula

2p= AB+BC+CA

che nel nostro caso corrisponde ai valori:

108m=(5.2x+8x+8.4x)m

raccogliamo i fattori comuni, per poter calcolare quanto vale il coefficiente di proporzionalità:

x(5.2+8+8.4)=108

x(21.6)=108

isoliamo la x, ovvero il nostro fattore proporzionalità:

x=108/21.6 = 5.

Dunque, determinato ora il coefficiente di proporzionalità (x), possiamo calcolare il valore dei lati

AB=5.2•5=26 m

BC=8•5=40 m

CA=8.4•5=42m

Calcoliamo il semiperimetro:

p=108/2=54.

Possiamo adesso applicare la formula di Erone per calcolare l’area del triangolo ABC:

Problema 2

Calcolare il perimetro e le tre altezze di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 6.5m, 7m e 7.5 m e ha l’area di 336 m².

Svolgimento

DATI

AB=6.5x cm

BC=7x cm

CA=7.5x cm

Area=336 cm²

Perimetro 2P=?

CALCOLI

Come primo passo possiamo calcolare il semiperimetro:

 dalla formula di ERONE si ha:

Abbiamo così calcolato il coefficiente di proporzionalità che vale x=4, dunque si ha:

AB=6.5•4m=26cm

BC=7•4m=28cm

CA=7.5•4m=30cm

 

Possiamo ora calcolare il perimetro

2P=(26+28+30)m=84 cm;            

per calcolare le altezze del triangolo, sappiamo che:

A=(b•h)/2;   ->   da qui calcoliamo:

.

 

Problema 3

Calcolare il perimetro di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 5, 10.4, 12.6 e l’altezza relativa al lato maggiore di 20 cm.

DATI

AB=5x m

BC=10,4x m

CA=12,6x m

h_(CA)=20m Altezza Relativa Al Lato Maggiore

2P=?

CALCOLI

Poiché abbiamo l’altezza (relativa al lato maggiore), calcoliamo l’area:

 Calcoliamo adesso il semiperimetro:

Adesso calcoliamo il coefficiente di proporzionalità:

Risolviamo l’equazione di secondo grado raccogliendo i fattori comuni:

Calcoliamo adesso l’area del triangolo, con il coefficiente di proporzionalità trovato

A=126•x=126•5m²=630 m²

2P=28•x=28•5=140 m.

 

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