La formula di Erone viene utilizzata per calcolare l’area di un triangolo conoscendo il perimetro e i lati:
Con p indichiamo il semiperimetro che corrisponde alla metà del perimetro.
Problema 1
Calcola l’area di un triangolo ABC che ha i lati proporzionali ai numeri 5.2, 8 e 8.4 ed il perimetro di 108 metri;
RISOLVO
DATI
AB=5.2•x metri
BC=8•x metri
CA=8.4•x metri
2p=108 metri
A(ABC)=?
CALCOLI
Il perimetro è dato dalla formula
2p= AB+BC+CA
che nel nostro caso corrisponde ai valori:
108m=(5.2x+8x+8.4x)m
raccogliamo i fattori comuni, per poter calcolare quanto vale il coefficiente di proporzionalità:
x(5.2+8+8.4)=108
x(21.6)=108
isoliamo la x, ovvero il nostro fattore proporzionalità:
x=108/21.6 = 5.
Dunque, determinato ora il coefficiente di proporzionalità (x), possiamo calcolare il valore dei lati
AB=5.2•5=26 m
BC=8•5=40 m
CA=8.4•5=42m
Calcoliamo il semiperimetro:
p=108/2=54.
Possiamo adesso applicare la formula di Erone per calcolare l’area del triangolo ABC:
Problema 2
Calcolare il perimetro e le tre altezze di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 6.5m, 7m e 7.5 m e ha l’area di 336 m2.
Svolgimento
DATI
AB=6.5x cm
BC=7x cm
CA=7.5x cm
Area=336 cm2
Perimetro 2P=?
CALCOLI
Come primo passo possiamo calcolare il semiperimetro:
dalla formula di ERONE si ha:
Abbiamo così calcolato il coefficiente di proporzionalità che vale x=4, dunque si ha:
AB=6.5•4m=26cm
BC=7•4m=28cm
CA=7.5•4m=30cm
Possiamo ora calcolare il perimetro
2P=(26+28+30)m=84 cm;
per calcolare le altezze del triangolo, sappiamo che:
A=(b•h)/2; -> da qui calcoliamo:
.
Problema 3
Calcolare il perimetro di un triangolo che ha i lati proporzionali ai numeri 5, 10.4, 12.6 e l’altezza relativa al lato maggiore di 20 cm.
DATI
AB=5x m
BC=10,4x m
CA=12,6x m
h(CA)=20m Altezza Relativa Al Lato Maggiore
2P=?
CALCOLI
Poiché abbiamo l’altezza (relativa al lato maggiore), calcoliamo l’area:
Calcoliamo adesso il semiperimetro:
Adesso calcoliamo il coefficiente di proporzionalità:
Risolviamo l’equazione di secondo grado raccogliendo i fattori comuni:
Calcoliamo adesso l’area del triangolo, con il coefficiente di proporzionalità trovato
A=126•x=126•5m2=630 m2
2P=28•x=28•5=140 m.
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