In questa lezione dimostreremo che la radice di 2 non è un numero razionale (cioè non può essere espresso come una frazione). La dimostrazione che radice di 2 è irrazionale avviene per assurdo, ovvero, assumeremo che sia vero il contrario, per poi dimostrare che è impossibile.
Supponiamo per assurdo che √2 sia un razionale, ovvero supponiamo che, esiste una frazione irriducibile m/n (cioè che non si può semplificare) tale che:
- m/n=√2;
poichè m/n è irriducibile, allora anche m2/n2 deve essere irriducibile.
Dall'ipotesi fatta, segue allora che:
- m2/n2=2;
e quindi di conseguenza deve essere anche:
- m2=2n2;
secondo quest'ultima però, m2 dovrebbe essere multiplo di n2 .
Siamo dunque arrivati a una contraddizione e quindi abbiamo dimostrato che (√2) ènecessariament un numero irrazionale.
Alla scoperta del numero radice di 2, anche noto come costante di Pitagora, la storia fa risalire la scoperta dei numeri irrazionali. Da questo deriva la grandissima importanza di questa dimostrazione.
Oltre che in Grecia, il numero radice di due fu studiato anche in Babilonia, Egitto e India, ma fu Pitagora, cultore dei numeri razionali ad accorgersi per primo che radice di 2 non poteva essere espresso come una frazione. La dimostrazione ottenuta per assurdo, disilluse Pitagora dalla convinzione che tutti i numeri fossero razionali.
In termini geometrici, √2, rappresenta la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo i cui cateti misurano entrambi 1.