I numeri relativi

Definizione

Dopo lo studio dell'insieme N dei numeri naturali (1,2,3,4,...) e una volta definite le operazioni di addizione e moltiplicazione, si passa allo studio di un insieme più vasto, quello dei numeri interi relativi (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...) indicati solitamente con la lettera Z, e quindi nell'ottica di ampliare sempre di più il nostro insieme di numeri giungiamo ai numeri razionali relativi, indicati con la lettera Q esprimibili tramite una frazione (ex. 1/2, 2/3, ...).

Alla luce di quello visto sopra possiamo dunque rispondere alla domanda: cosa sono i numeri relativi? I numeri relativi sono i numeri che sono preceduti da un segno (+) o (-). Si parla quindi di numeri interi relativi e numeri razionali relativi. Per chiarire meglio il tutto vediamo la loro rappresentazione su una retta:

Un numero relativo è dunque formato da un modulo o valore assoluto (ad esempio 1,10,500) preceduto da un segno (più + oppure meno -).

Esempio:

• +5 è un numero relativo. 5 è il suo modulo, + è il suo segno;
  
  
• -8 è un numero relativo. 8 è il suo modulo, - è il suo segno.
  

Confronto tra numeri relativi

I numeri relativi diversi da zero si dicono:

• positivi quando sono preceduti dal segno +
  esempio: +9;
  
  
• negativi quando preceduti dal segno -
  esempio: -18;
  
  
• concordi, quando hanno lo stesso segno
  esempio: +6 e +15;
  
  
• discordi, quando hanno segno diversi
  esempio: +6 e -5;
  
  
• eguali, se hanno lo stesso segno e lo stesso modulo;
  esempio: +21 e +21;
  
  
• opposti, se hanno stesso modulo ma segno diverso
  esempio: +4 e -4.
  

Alla luce di questo vediamo come avvienne il confronto tra due numeri relativi.

Se i numeri da confrontare sono entrambi positivi, è più grande quello con il modulo più grande.

• Esempio: +18 > +13;

Se i numeri da confrontare sono entrambi negativi, è più grande quello con il modulo più piccolo.

• Esempio: -7 > -15;

Se due numeri sono opposti, quello positivo è sempre più grande di quello negativo.

Zero "0" è il numero neutro ed è maggiore di tutti i numeri negativi e minore di tutti quelli positivi.

Quindi –n < 0 < +n.

Addizione tra numeri relativi

• La somma di due numeri relativi dello stesso segno è il numero relativo che ha per modulo la somma dei moduli dei due numeri e per segno il loro stesso segno:
  Esempio 1: (+5)+(+7)=+12; Esempio 2: (-8)+(-3)=-11;
  
  
• La somma di due numeri relativi di segno contrario, è il numero relativo che ha per modulo la differenza dei moduli dei due numeri e per segno, il segno di quelli di essi con il modulo maggiore:
  Esempio: (-6)+(+2)=(-4).
  

Proprietà dell'addizione tra numeri relativi

1. L'addizione è un'operazione interna sempre possibile tra numeri razionali relativi.
   Se a ∈ Q e b ∈ Q, allora (a+b) ∈ Q, sempre.
   
   
2. Vale la proprietà commutativa a+b=b+a. Esempio: (+5) + (+7) = (+7) + (+5) = (+12)
   
   
3. Vale la proprietà associativa (a+b)+c=a+(b+c). Esempio: [(+2) + (+3)] + (+5) = (+2) + [(+3) + (+5)] = (+10)
   
   
4. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione a+0=a. Esempio: 10+0=10.
   
   

Sottrazione tra numeri relativi

La differenza di due numeri relativi (presi in un certo ordine) è il numero relativo che, addizionato al secondo da per somma il primo:

a - b = d (differenza), se e solo se: a = b + d

il primo termine (a) prende il nome di minuendo il secondo (b) di sottraendo, il risultato (d) è comunemento chiamata differenza.

• La differenza tra due numeri relativi, si calcola sommando al primo termine l'opposto del secondo.
  Esempio 1: (+5)-(+4) = (+5) + (-4) = +1;
  Esempio 2: (-2)-(-5) = (-2) + (+5) = +3.
  
  

Regola per togliere le parentesi

Quando in un'equazione algebrica troviamo delle operazioni racchiuse in parentesi ex. +(+2-6+3), si possono eliminare le parentesi ed il segno che eventualmente le precede riscrivendo i termini in parentesi:

• con lo stesso segno se la parentesi è preceduta da segno + o se non è preceduta da alcun segno
  Esempio: +(+2-6+3) = +2-6+3;
  
• con il segno opposto se davanti alla parentesi è presente il segno meno
  Esempio -(+2-6+3) = -2+6-3.
  

Moltiplicazione tra numeri relativi

Detto che moltiplicare qualsiasi numero per il numero zero "0" da come risultato "0", vediamo come si procede per numeri relativi diversi da zero.

• La moltiplicazione tra due numeri relativi è il numero relativo che ha per modulo il prodotto dei moduli dei due numeri e per segno, il segno + o - rispettivamente se i numeri sono concordi o discordi.
  Esempio 1: (+5) • (+3) = +15; segno concorde
  Esempio 2: (-6) • (-8) = +48; segno concorde
  Esempio 3: (-4) • (+8) = -32; segno discorde 

Tabella regola dei segni

+ per + = +

− per − = +

+ per − = −

− per + = −

Proprietà della moltiplicazione tra numeri relativi

1. La moltiplicazione è un'operazione interna sempre possibile tra numeri razionali relativi.
   Se a ∈ Q e b ∈ Q, allora (a•b) ∈ Q, sempre.
   
   
2. Vale la proprietà commutativa a•b=b•a.
   
   
3. Vale la proprietà associativa (a•b)•c=a•(b•c).
   
   
4. Il numero "+1" è l'elemento neutro della moltiplicazione a•1=a.
   *Nota: la moltiplicazione per (-1) lascia invariato il modulo e cambia il segno del numero relativo.
   
   
5. E' distributiva rispetto all'addizione: a•(b+c) = a•b + a•c.
   
   

Divisione tra numeri negativi

Il quoziente di due numeri relativi (presi in un certo ordine) è il numero relativo che, moltiplicato al secondo da per prodotto il primo:

a : b = q (quoziente), se e solo se: a = b • q

il primo termine (a) prende il nome di dividendo il secondo (b) di divisore, mentre il risultato (q) è comunemento chiamato quoziente.

*Nota: il divisore (b) deve essere necessariamente diverso da "0".