Dati due numeri a e n, detti rispettivamente base ed esponente, si definisce potenza, il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a:

aⁿ = a • a • a • ... • a (n volte a), con n≠0.   Ex. 2⁴ = 2 • 2 • 2 • 2 = 16

per definizione: a⁰ = 1.

La formula vista sopra (aⁿ) si legge "a elevato a n" oppure "a alla n", con l'esponente rappresentato generalmente come apice.

Data una breve definizione definiamo quindi, in questa lezione, le proprietà delle potenze, ossia le importantissime proprietà che legano le potenze alle operazioni algebriche.

Le proprietà delle potenze

Prima proprietà: il prodotto tra due potenze

• il prodotto di due potenze che hanno la stessa base, è un'altra potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti, ovvero:
  
  aⁿ • a^m = a^n+m;
  
  Esempio:
  
  6³ • 6⁵ = 6⁸;

Seconda proprietà: il quoziente tra due potenze

• il quoziente di due potenze che hanno la stessa base, è un'altra potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti, ovvero:
  
  aⁿ : a^m = a^n-m;
  
  Esempio:
  
  6⁸ : 6⁵ = 6³;

Terza proprietà: la potenza di un'altra potenza

• la potenza di una potenza è un'altra potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti, ovvero:
  
  (aⁿ)^m = a^n•m;
  
  Esempio:
  
  (6³)⁵ = 6¹⁵;

Quarta proprietà: il prodotto tra due potenze con base diversa

• il prodotto di due potenze che hanno lo stesso esponente ma base diversa, è un'altra potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente, ovvero:
  
  aⁿ • bⁿ = (a • b)ⁿ;
  
  Esempio:
  
  4³ • 8³ = (4 • 8)³ = 32³;
  

Quinta proprietà: il quoziente tra due potenze con base diversa

• il quoziente di due potenze che hanno lo stesso esponente ma base diversa, è un'altra potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente, ovvero:
  
  aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ;
  
  Esempio:
  
  6³ • 3³ = (6 • 3)³ = 2³;

 *Nota: comunemente, a² si legge "a al quadrato",  a³ si legge "a al cubo", a⁴ si legge "a alla quarta" e cosi via.

Prodotti notevoli

Vediamo ora i cosidetti prodotti notevoli, i quali se memorizzati ci consentono di svolgere molto più rapidamente i calcoli nelle espressioni algebriche.

• quadrato di un binomio:
  
  (a + b)² = a² + b² + 2ab; (a + b) è il binomio, si dice quadrato per via del ²
  
  (a - b)² = a² + b² - 2ab; (a - b) è il binomio, si dice quadrato per via del ²
  
  
• quadrato di un trinomio:
  
  (a + b + c)² = a² + b² + c² +2ab + 2ac + 2bc; (a + b + c) è il trinomio, si dice quadrato per via del ²
  
  
• cubo di un binomio:
  
  (a + b)³ = a³ + b³ + 3a²b +3ab²; (a + b) è il binomio, si dice cubo per via del ³
  
  (a - b)³ = a³ - b³ - 3a²b +3ab²; (a - b) è il binomio, si dice cubo per via del ³
  
  

Esercizi svolti sulle proprietà delle potenze

• 3² • 3⁴ = 3⁶;
  
  
• 5¹² • 5⁴ = 5¹⁶;
  
  
• 7² ÷ 7⁴ = 7^-2 = (1/7)²;

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