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Nella lezione sulle equazioni di primo grado abbiamo visto il significato di equazione e svolto dei primi esercizi per cominciare ad avere dimestichezza con l'argomento. In questa lezione invece, vedremo come svolgere le equazioni di primo grado fratte.

Precisiamo quindi anzitutto che un'equazione di primo grado, si dice fratta, quando l'incognita x compare al denominatore dell'equazione (cioè sotto). La forma generica delle equazioni fratte è dunque:

Definizione equazioni primo grado fratte

con N(x) e D(x) che prendono ilnome di numeratore e denominatore rispettivamente e la x compare con esponente 1 (x = x1).

A scanso di equivoci precisiamo subito che la seguente, non è un'equazione fratta perchè come si vede la x non compare al denominatore ma solo al numeratore.

  QUESTA NON E' UN'EQUAZIONE FRATTA!

 

Risoluzione delle equazioni di primo grado fratte

Gli esempi si sa, rappresentano il modo più efficace per apprendere nuovi concetti e allora partiamo proprio da un semplice esercizio per capire come risolvere un'equazione fratta di primo grado.

Esempio di equazione di primo grato frattaportiamo il -1 a sinistra dell'uguale;

Per prima cosa  dobbiamo ricondurci alla forma generale N(x)/D(x)=0, lavorando con il m.c.m. (minimo comune multiplo) e quindi fatto questo, trovare le condizioni di esistenza. Ecco cosa fare in questo caso:

Risoluzione equazione primo grado fratta

 Risoluzione equazione primo grado fratta 1troviamo il m.c.m. che è 2x;

Risoluzione equazione primo grado fratta 2sommiamo i termini simili ed eccoci giunti alla forma canonica;

Per le equazioni lineari fratte di primo grado la condizione di esistenza che troviamo più di frequente è sostanzialmente una sola. Bisogna solo verificare che il denominatore sia diverso da zero ( D(x)≠0 ). Nel nostro esempio bisogna porre:

2x≠0;   ->   x≠0;

Cosa significa questo? solo che la x non può assumere il valore 0 perchè altrimenti otterremmo una divisione per zero e quindi l'intera equazione perderebbe significato.

Ora come mostrato sotto non dobbiamo fare altro che moltiplicare tutto per D(x), in modo tale da ottenere 1 in tutto il denominatore e poter dunque disfarci di esso.

Risoluzione equazione primo grado fratta 3

L'equazione da studiare diventa quindi:

3x+2=0;   ->   x=-2/3;

 

Esercizi svolti eqazioni primo grado fratte

  •  Risolviamo la seguente equazione fratta di primo grado 

  •  Risoluzione equazione primo grado fratta 4

    cominciamo applicando il m.c.m.

    Risoluzione equazione primo grado fratta 5

     

    Poniamo D(x) diverso da 0, ricavando cosi le condizioni di esistenza dell'equazione:

    Risoluzione equazione primo grado fratta 6

     

    Ora risolviamo N(x)=0;

    Risoluzione equazione primo grado fratta 7

    verifichiamo la condizione di esistenza:

    -2 ≠ 0; quindi la soluzione della nostra equazione fratta è accettata.